오일러법 계산기
1차 미분방정식과 관련 값을 입력하고 이 계산기가 오일러의 방법을 사용하여 이를 풀도록 합니다.
오일러법 계산기
주어진 초기 조건에서 오일러 방법을 사용하여 1차 미분 방정식을 풀려면 이 오일러 방법 계산기를 사용하십시오. 또한 오일러(반복) 프로세스가 어떻게 미분 방정식의 솔루션을 근사화하여 솔루션 곡선의 다음 지점을 찾을 수 있는지 보여주는 단계별 솔루션을 제공합니다.
오일러의 방법은 무엇입니까?
"오일러 방법은 특정 초기값을 갖는 상미분 방정식(ODE)을 풀기 위한 1차 수치 방법입니다."
이 방법은 스위스 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 발명했습니다. 기본적으로 오일러의 방법은 특정 지점의 도함수를 사용하여 다음 지점의 함수 값을 근사화합니다. 접선을 사용하여 미분 방정식의 해를 추정합니다.
따라서 오일러의 방법은 반복적인 방법을 단순화한 것으로 추정이 잘 되지 않을 수 있다는 점을 고려하는 것이 중요하다. 따라서 더 작은 단계 크기를 사용하면 일반적으로 더 정확한 근사치를 얻을 수 있습니다.
오일러법 공식:
y (n+1) = yn + h .f ( xn , yn )
방정식에서:
- y n = 이전 점의 현재 값을 구합니다.
- y n + 1 = 다음 해의 근사치(n+1)
- h = 단계 크기, 독립 변수의 증분을 제어합니다.
- f(xn , yn ) = 미분 방정식을 정의하는 함수. 특정 지점(xn, yn)에서의 해(y) 를 나타 냅니다 .
예:
단계 크기가 1인 오일러 방법을 사용하여 초기값 문제에 대한 x(4) 값을 다음과 같이 근사화합니다.
- 미분방정식 = x'(t) = x(t)
- 초기 조건 = x(0) = 1
해결 방법(단계별):
1단계 - 초기값 설정
- 초기 시간(t 0 ) = 0
- x의 초기값 = x 0 = 1
2단계 - 오일러 방법 공식 사용
오일러 방정식에는 다양한 구성 요소가 있습니다. 주어진 값을 취하고 누락된 값을 찾으십시오. 이 작업을 완료한 후 공식에 값을 입력하여 x(4)의 해를 대략적으로 계산합니다.
3단계 - 반복 수행
x(4)를 근사화하기 위해 공식을 4번(n = 0, 1, 2, 3) 반복적으로 적용합니다 . 사용자 편의를 위해 다음 표 형식으로 이러한 계산을 수행했습니다.
|
반복 횟수(n) |
엔 |
엔 |
에프(티 ,n , xn ) |
x( n+1 ) |
|
0 |
0 |
1 |
f(0, 1) = 1 |
1 + 1 * 1 = 2 |
|
1 |
1 |
2 |
f(1, 2) = 2 |
2 + 1 * 2 = 4 |
|
2 |
2 |
4 |
에프(2, 4) = 4 |
4 + 1 * 4 = 8 |
|
3 |
3 |
8 |
에프(3, 8) = 8 |
8 + 1 * 8 = 16 |
4단계 - 설명
x(4)의 대략적인 값은 16입니다. 이는 1회 및 4회 반복의 단계 크기를 갖는 오일러의 방법을 사용하여 계산됩니다. 이 반복 프로세스는 ODE의 초기 값을 고려하는 오일러 방법 계산기를 사용하여 자동화할 수 있습니다.