행렬식 계산기
행렬 크기를 선택하고 값을 입력하면 행렬식 계산기에 행렬식과 세부 단계가 표시됩니다.
행렬식 계산기는 최대 5×5 크기의 행렬에 대한 행렬식을 찾는 과정을 단순화합니다. 행렬의 크기를 선택하고 실수 또는 복소수를 입력하여 행렬식 행렬과 각 단계의 계산을 평가합니다.
행렬식이란 무엇입니까?
이는 정사각 행렬의 요소로부터 얻은 스칼라 값입니다. 이는 선형 변환의 일부 속성을 가지며 행렬이 나타내는 선형 변환이 얼마나 늘어나는지 측정합니다. 행렬식의 행렬식이 양수인지 음수인지는 선형변환이 벡터공간의 방향을 유지하는지 반전하는지에 따라 달라집니다. 이는 det(A), det A 또는 |a|로 표시됩니다.
행렬의 행렬식을 계산하는 방법은 무엇입니까?
행렬의 행렬식은 다양한 방법으로 계산할 수 있지만 행렬식 계산기는 2x2, 3x3, 4x4 또는 고차 정사각 행렬의 행렬식을 계산합니다. 이 계산기는 행렬 계산의 복잡성을 제거하여 모든 크기의 행렬의 행렬식을 간단하고 쉽게 찾을 수 있도록 해줍니다. 간단한 수동 작업에서는 주요 대각선 멤버를 곱하고 행렬을 사다리꼴 행으로 줄여 계산합니다. 여기에서는 다양한 방법으로 행렬식을 찾기 위해 다양한 순서의 행렬에 대한 자세한 공식을 제공합니다.
2x2 행렬 곱셈의 경우:
어떤 계산 방법을 선택하든 행렬 A = (aij)2×2의 행렬식은 다음과 같이 결정됩니다.
d e t A = ∣ a b c d ∣ det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \\ d e t A = a c b d
d e t A = a d − b c det A = ad-bc d e t A = a d − b c
예:
d e t A = ∣ 4 12 2 7 ∣ det A = \begin{vmatrix} 4 & 12 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} \\ d e t A = 4 2 12 7
해결책:
∣ A ∣ = ( 7 ) ( 4 ) – ( 2 ) ( 12 ) |A| = (7)(4) – (2)(12) ∣ A ∣ = ( 7 ) ( 4 ) – ( 2 ) ( 12 )
∣ A ∣ = 28 – 24 |A| = 28 – 24 ∣ A ∣ = 28–24
∣ A ∣ = 4 |A| = 4 ∣ A ∣ = 4
3x3 행렬 곱셈의 경우:
d e t A = ∣ a b c d e f g h i ∣ det A = \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f \\g & h & i \end{vmatrix} \\ d e t A = a d g b e h c f i
d e t A = a ∣ e f h i ∣ − d ∣ b c h i ∣ + g ∣ b c e f ∣ det A= a\begin{vmatrix} e & f \\h & i\end{vmatrix} - d\begin{vmatrix}b & c \\h & i\end{vmatrix}+g\begin{vmatrix}b & c \\e & f\end{vmatrix} d e t A = a e h f i − d b h c i + g b e c f
d e t A = ∣ 2 0 3 1 4 1 0 4 7 ∣ det A = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 3\\1 & 4 & 1 \\0 & 4 & 7 \end{vmatrix} \\ d e t A = 2 1 0 0 4 4 3 1 7
d e t A = 2 ∣ 4 1 4 7 ∣ − 1 ∣ 0 3 4 7 ∣ + 0 ∣ 0 3 4 1 ∣ det A= 2\begin{vmatrix} 4 & 1 \\4 & 7\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix}0 & 3 \\4 & 7\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}0 & 3 \\4 & 1\end{vmatrix} d e t A = 2 4 4 1 7 − 1 0 4 3 7 + 0 0 4 3 1
d e t A = 2 [ ( 7 ) ( 4 ) − ( 4 ) ( 1 ) ] − 1 [ ( 4 ) ( 3 ) − ( 7 ) ( 0 ) ] + 0 [ ( 4 ) ( 3 ) − ( 1 ) ( 0 ) ] det A = 2[(7)(4)-(4)(1)]-1[(4)(3)-(7)(0)]+ 0[(4)(3)-(1)(0)] d e t A = 2 [( 7 ) ( 4 ) − ( 4 ) ( 1 )] − 1 [( 4 ) ( 3 ) − ( 7 ) ( 0 )] + 0 [( 4 ) ( 3 ) − ( 1 ) ( 0 )]
d e t A = 2 [ 28 − 4 ] − 1 [ 12 − 0 ] + 0 [ 12 − 0 ] det A = 2[28-4]-1[12-0]+ 0[12-0] d e t A = 2 [ 28 − 4 ] − 1 [ 12 − 0 ] + 0 [ 12 − 0 ]
d e t A = 2 [ 24 ] − 1 [ 12 ] + 0 [ 12 ] det A = 2[24]-1[12]+ 0[12] d e t A = 2 [ 24 ] − 1 [ 12 ] + 0 [ 12 ]
d e t A = 48 − 12 + 0 det A = 48-12+ 0 d e t A = 48 − 12 + 0
d e t A = 36 det A = 36 d e t A = 36
4x4 행렬 곱셈의 경우:
For the calculations of matrix A = (aij)4×4 from expansion of column is determined by the following formula:
d e t A = ∣ a b c d e f g h i j k l m n o p ∣ det A = \begin{vmatrix} a & b & c & d\\e & f & g &h \\i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{vmatrix} \\ d e t A = a e i m b f j n c g k o d h l p
d e t A = a ∣ f g h j k l n o p ∣ − e ∣ b c d j k l n o p ∣ + i ∣ b c d f g h n o p ∣ − m ∣ b c d f g h j k l ∣ det A= a\begin{vmatrix} f & g & h\\j & k & l\\n & o & p\end{vmatrix} - e\begin{vmatrix}b & c & d\\j & k & l\\ n & o & p\end{vmatrix}+i\begin{vmatrix}b & c & d \\f & g & h\\n & o & p\end{vmatrix}-m\begin{vmatrix}b & c & d\\f & g & h\\j & k & l\end {vmatrix} d e t A = a f j n g k o h l p − e b j n c k o d l p + i b f n c g o d h p − m b f j c g k d h l
그런 다음 위의 3x3 공식을 사용하여 3x3의 행렬식을 간단히 결정하세요.
d e t A = ∣ 1 8 7 2 2 4 3 8 1 4 3 2 1 4 9 6 ∣ det A = \begin{vmatrix} 1 & 8 & 7 & 2\\2 & 4 & 3 &8 \\1 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 9 & 6 \end{vmatrix} \\ d e t A = 1 2 1 1 8 4 4 4 7 3 3 9 2 8 2 6
d e t A = 1 ∣ 4 3 8 4 3 2 4 9 6 ∣ − 2 ∣ 8 7 2 4 3 2 4 9 6 ∣ + 1 ∣ 8 7 2 4 3 8 4 9 6 ∣ − 1 ∣ 8 7 2 4 3 8 4 3 2 ∣ det A= 1\begin{vmatrix}4 & 3 & 8\\4 & 3 & 2\\4 & 9 & 6\end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix}8 & 7 & 2\\4 & 3 & 2\\ 4 & 9 & 6\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}8 & 7 & 2 \\4 & 3 & 8\\4 & 9 & 6\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}8 & 7 & 2\\4 & 3 & 8\\4 & 3 & 2\end {vmatrix} d e t A = 1 4 4 4 3 3 9 8 2 6 − 2 8 4 4 7 3 9 2 2 6 + 1 8 4 4 7 3 9 2 8 6 − 1 8 4 4 7 3 3 2 8 2
d e t A = 1 ( 4 ∣ 3 2 9 6 ∣ − 3 ∣ 4 2 4 6 ∣ + 8 ∣ 4 3 4 9 ∣ ) − 2 ( 8 ∣ 3 2 9 6 ∣ − 7 ∣ 4 2 4 6 ∣ + 2 ∣ 4 3 4 9 ∣ ) + 1 ( 8 ∣ 3 8 9 6 ∣ − 7 ∣ 4 8 4 6 ∣ + 2 ∣ 4 3 4 9 ∣ ) − 1 ( 8 ∣ 3 8 3 2 ∣ − 7 ∣ 4 8 4 6 ∣ + 2 ∣ 4 3 4 3 ∣ ) det A=1( 4\begin{vmatrix} 3 & 2 \\9 & 6\end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix}4 & 2 \\4 & 6\end{vmatrix}+8\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 9\end{vmatrix}) -2( 8\begin{vmatrix} 3 & 2 \\9 & 6\end{vmatrix} - 7\begin{vmatrix}4 & 2 \\4 & 6\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 9\end{vmatrix}) +1( 8\begin{vmatrix}3 & 8 \\9 & 6\end{vmatrix} - 7\begin{vmatrix}4 & 8 \\4 & 6\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 9\end{vmatrix}) -1( 8\begin{vmatrix} 3 & 8 \\3 & 2\end{vmatrix} - 7\begin{vmatrix}4 & 8 \\4 & 6\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 3\end{vmatrix}) d e t A = 1 ( 4 3 9 2 6 − 3 4 4 2 6 + 8 4 4 3 9 ) − 2 ( 8 3 9 2 6 − 7 4 4 2 6 + 2 4 4 3 9 ) + 1 ( 8 3 9 8 6 − 7 4 4 8 6 + 2 4 4 3 9 ) − 1 ( 8 3 3 8 2 − 7 4 4 8 6 + 2 4 4 3 3 )
d e t A = 1 [ 4 ( 18 − 18 ) − 3 ( 24 − 8 ) + 8 ( 36 − 12 ) ] − 2 [ 8 ( 18 − 18 ) − 7 ( 24 − 8 ) + 2 ( 36 − 12 ) ] + 1 [ 8 ( 18 − 72 ) − 7 ( 24 − 32 ) + 2 ( 36 − 12 ) ] − 1 [ 8 ( 6 − 24 ) − 7 ( 8 − 32 ) + 2 ( 12 − 12 ) ] det A = 1[4(18-18)-3(24-8)+ 8(36-12)]-2[ 8(18-18)-7(24-8)+ 2(36-12)]+ 1[ 8(18-72)-7(24-32)+2(36-12)] -1[8(6-24)-7(8-32)+ 2(12-12)] d e t A = 1 [ 4 ( 18 − 18 ) − 3 ( 24 − 8 ) + 8 ( 36 − 12 )] − 2 [ 8 ( 18 − 18 ) − 7 ( 24 − 8 ) + 2 ( 36 − 12 )] + 1 [ 8 ( 18 − 72 ) − 7 ( 24 − 32 ) + 2 ( 36 − 12 )] − 1 [ 8 ( 6 − 24 ) − 7 ( 8 − 32 ) + 2 ( 12 − 12 )]
d e t A = 1 [ 4 ( 0 ) − 3 ( 16 ) + 8 ( 24 ) ] − 2 [ 8 ( 0 ) − 7 ( 16 ) + 2 ( 24 ) ] + 1 [ 8 ( − 54 ) − 7 ( − 8 ) + 2 ( 24 ) ] − 1 [ 8 ( − 18 ) − 7 ( − 24 ) + 2 ( 0 ) ] det A = 1[4(0)-3(16)+ 8(24)]-2[ 8(0)-7(16)+ 2(24)]+ 1[ 8(-54)-7(-8)+ 2(24)]-1[8(-18)-7(-24)+ 2(0)] d e t A = 1 [ 4 ( 0 ) − 3 ( 16 ) + 8 ( 24 )] − 2 [ 8 ( 0 ) − 7 ( 16 ) + 2 ( 24 )] + 1 [ 8 ( − 54 ) − 7 ( − 8 ) + 2 ( 24 )] − 1 [ 8 ( − 18 ) − 7 ( − 24 ) + 2 ( 0 )]
d e t A = 1 [ 0 − 48 + 192 ] − 2 [ 0 − 112 + 48 ] + 1 [ − 432 + 56 + 48 ] − 1 [ − 144 + 168 + 0 ] det A = 1[0-48+192]-2[0-112+48]+ 1[ -432+56+48]-1[-144+168+0] d e t A = 1 [ 0 − 48 + 192 ] − 2 [ 0 − 112 + 48 ] + 1 [ − 432 + 56 + 48 ] − 1 [ − 144 + 168 + 0 ]
d e t A = 1 [ 144 ] − 2 [ − 64 ] + 1 [ − 328 ] − 1 [ 24 ] det A = 1[144]-2[-64]+ 1[-328]-1[24] d e t A = 1 [ 144 ] − 2 [ − 64 ] + 1 [ − 328 ] − 1 [ 24 ]
d e t A = 144 + 128 − 328 − 24 det A = 144+128-328- 24 d e t A = 144 + 128 − 328 − 24
d e t A = − 80 det A = -80 d e t A = − 80
5x5 행렬 곱셈의 경우:
d e t A = ∣ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y ∣ det A = \begin{vmatrix} a & b & c & d & e\\f & g & h & i & j\\k & l & m & n & o \\ p & q & r & s & t \\ u & v & w & x & y \end{vmatrix} \\ d e t A = a f k p u b g l q v c h m r w d i n s x e j o t y
d e t A = a ∣ g h i j l m n o q r s t v w x y ∣ − f ∣ b c d e l m n o q r s t v w x y ∣ + k ∣ b c d e g h i j q r s t v w x y ∣ − p ∣ b c d e g h i j l m n o q r s t ∣ det A= a\begin{vmatrix} g & h & i & j\\l & m & n & o\\q & r & s & t\\v & w & x & y\end{vmatrix} - f\begin{vmatrix}b & c & d & e\\l & m & n & o\\ q & r & s & t\\ v & w & x & y\end{vmatrix}+k\begin{vmatrix}b & c & d & e \\ g & h & i & j\\q & r & s & t\\v & w & x & y\end{vmatrix}-p\begin{vmatrix}b & c & d & e\\g & h & i & j\\l & m & n & o\\q & r & s & t\end {vmatrix}\\ d e t A = a g l q v h m r w i n s x j o t y − f b l q v c m r w d n s x e o t y + k b g q v c h r w d i s x e j t y − p b g l q c h m r d i n s e j o t
