이항분포계산기

이 이항 확률 계산기를 사용하면 단일 시행 확률, 시행 횟수 및 사건을 기반으로 이항 누적 분포 함수와 확률 질량을 쉽게 계산할 수 있습니다. 결과가 이항 확률 변수(예: 동전 던지기)인 경우 성공 확률을 계산할 수 있습니다. 계산기는 필요한 시행 횟수도 계산할 수 있습니다.

통계 및 확률에서 이항 분포의 확률 밀도 함수는 다음 방정식으로 제공됩니다.

PDF(x) =  ( ⁿ _x ) p ^x (1-p) ^nx ,

여기서 n은 독립적인 베르누이 시행의 수이고 p는 각 시행의 성공 확률입니다.

이항 분포가 발생하는 일반적인 상황은 일련의 동전 던지기입니다. 당신이 동전을 일곱 번 던져 앞면이 나온다고 가정해 보세요. 이 경우 n = 7이고 p = 0.5입니다. 정확히 4번 던질 확률을 계산하려면 다음을 평가해야 합니다.

PDF(4) =  ( ⁷ ₄ ) (0.5) ⁴ (0.5) ³

= 35(0.5) ⁷

= 0.2734375

최대 4번의 앞면이 뒤집힐 확률을 찾으려면 합계

PDF(0) + PDF(1) + PDF(2) + PDF(3) + PDF(4)

0.0078125 + 0.0546875 + 0.1640625 + 0.2734375 + 0.2734375를 계산합니다.
= 0.77344.

이항 분포의 또 다른 응용은 주사위 굴리기입니다. 예를 들어 6면체 주사위 2개를 던져 총 8이 나왔다고 가정해 보겠습니다. 두 개의 주사위를 사용하여 합이 8이 나올 확률은 5/36입니다. 주사위를 13번 굴렸을 때, 8이 정확히 두 번 나올 확률은 다음과 같습니다.

PDF(2) =  ( ¹³ ₂  ) (5/36) ² (31/36) ¹¹

= 0.290456255.

이항 평균과 분산

이항 분포의 평균 μ는 방정식

μ = np로 제공됩니다.

분산 σ ²  는 Eq.

σ ²  = np(1-p).

μ와 σ2 의 값을 알고 있지만 n과 p를 모르는 경우 다음 ^{방정식 을 사용하여 n과 p를 계산할 수 있습니다.}

p = 1 - σ ² /μ 및 n = μ ² /(μ - σ ² ).

정규분포의 근사

n이 크면 이항 분포는 평균 np와 표준 편차 sqrt[np(1-p)]를 갖는 정규 분포로 근사화될 수 있습니다. n이 충분히 커지는 조건에는 설명이 필요하지만 n이 20 이상이고 p가 0.5에 가까울 때 근사치가 더 좋습니다.

정규 분포를 사용할 수 있는지 여부를 결정하는 경험적 법칙은 평균의 3 표준 편차 내에 있는 모든 항목이 가능한 값 범위 내에 있는지 확인하는 것입니다. 즉

np + 3sqrt[np(1-p)] < n 및

np - 3sqrt[np(1-p)] > 0,

이는 n이 9p/(1-p) 및 9(1-p)/p보다 큰지 확인하는 것을 단순화합니다.

예를 들어, p = 0.32이고 n = 22인 이항 분포가 있는 경우 22 > 9(0.32)/0.68 및 22 > 9(0.68)/0.32이므로 정규 분포를 사용하여 확률을 근사화할 수 있습니다

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