무한 루프 십진수를 분수로 변환
순환소수를 분수로 변환하는 방법
분수가 소수로 표현되면 유한 소수의 형태를 취할 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
3/5 = 0.6 및 1/8 = 0.125,
또는 순환 십진수;
19/70 = 0.2 714285 및 1/6 = 0.1 6
위에서 설명한 줄은 숫자 문자열의 반복 요소 위에 나타납니다. 이것을 루프라고 합니다. 덧셈과 뺄셈을 더 쉽게 하기 위해 분수를 소수로 변환하고 싶을 수도 있습니다. 그러나 실제 수학에서는 분수를 백분율이나 소수로 변환할 때 무한히 반복되는 소수를 자주 접하게 되어 계산의 정확도가 떨어집니다.
아래 단계에 따라 소수를 원래 분수로 복원할 수 있습니다. 하지만 인생을 더 쉽게 만들고 싶다면 소수를 분수로 변환하는 계산기를 사용해 보세요.
1단계: 소수의 비순환 부분과 순환 부분을 분리합니다. 예를 들어, 다음을 분수로 변환한다고 가정해 보겠습니다.
0.321 0708
막대 그래프가 비반복 소수점 위에 있습니다. 따라서 321과 0708을 구분해야 합니다.
2단계: 소수점의 비반복 부분에 있는 숫자(0 포함)만큼의 0을 포함하는 비반복 부분의 10제곱을 기록합니다. 예를 들어 321은 세 자리 숫자로 구성되므로 분수를 321/1000으로 표현합니다.
3단계: 루프에 있는 것과 동일한 수의 루프 번호를 기록합니다(역시 0 포함). 예를 들어 0708은 4자리 숫자로 구성되므로 0708/9999로 표시됩니다. 그런 다음 해당 분수를 2단계에서 적용한 10의 거듭제곱으로 나눕니다. 예를 들어 2단계에서 1000을 적용했으므로 (0708/9999)/1000 = 0708/9999000 = 708/9999000을 계산합니다.
4단계: 2단계와 3단계에서 각각 생성된 두 분수를 더합니다(분수 덧셈 규칙에 따라 공통 분모를 지정해야 합니다). 예를 들어:
321/1000 + 708/9999000
= 3209679/9999000 + 708/9999000
= 3210387/9999000
5단계: 4단계에서 생성된 분수를 줄입니다. 예를 들어 3210387과 9999000은 모두 3으로 나눌 수 있습니다. 따라서 분자와 분모를 3으로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
1070129/3333000.
이는 0.321 0708 점수와 같습니다 .
이 방법이 작동하는 이유는 무엇입니까?
대수학은 모든 반복 소수가 유리수임을 증명하는 데 사용될 수 있습니다. 예를 들어 x = 0.321 0708이라고 가정합니다. x가 분수로 표현될 수 있음을 증명하기 위해 다음 대수적 단계를 적용할 수 있습니다.
x = 0.321 0708
x = 321/1000 + 0.000 0708
x – 321/1000 = 0.000 0708
1000 (x − 321/1000) = 0. 0708
10000 (1000 (x − 321/1000)) = 708. 0708
10000 (1000 (x − 321/1000)) = 708 + 0. 0708
10000(1000(x − 321/1000)) = 708 + 1000(x − 321/1000)
10000000x − 3210000 = 708 + 1000x − 321
9999000x = 3210387
x = 3210387/9999000 = 1070129/3333000