푸리에 급수 계산기

지정된 필드에 주기 함수를 기록하면 계산기는 계산 결과를 표시하여 푸리에 계열을 계산합니다.

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이 무료 푸리에 시리즈 계산기는 주어진 주기 함수의 푸리에 시리즈를 계산하도록 특별히 설계되었습니다. 이제 우리는 몇 가지 기본 이론부터 시작하기로 결정했습니다!

푸리에 급수란 무엇입니까?

수학에서는

“사인과 코사인의 무한한 합으로 주기 함수를 확장하는 것을 푸리에 급수라고 합니다.”

푸리에 급수 공식:
간격의 주기 함수를 보여주는 주어진 공식을 살펴보십시오.

f（x） −L≤ x≤ L -L\el \：\ \：L\：

 

f(x)=a0+∑n=1∞ an⋅cos⁡(nπxL)+∑n=1∞ bn⋅sin⁡(nπxL) f\left（x\right）=a_0+\sum _{n=1}^{\infty \：}a_n\cdot \cos \left（\frac{n\pi x}{L}\right）+\sum _{n=1}^{\infty \：}b_n\cdot \sin \left（\frac{n\pi x}{L}\right）

 

 

 

a0=12L⋅∫−LLf(x)dx a_0=\frac{1}{2L}\cdot \int _{-L}^Lf\left（x\right）dx

 

an=1L⋅∫−LLf(x)cos⁡(nπxL)dx,  n>0 a_n=\frac{1}{L}\cdot \int _{-L}^Lf\left（x\right）\cos \left（\frac{n\pi x}{L}\right）dx，\：\quad \：n>0

 

bn=1L⋅∫−LLf(x)sin⁡(nπxL)dx,  n>0 b_n=\frac{1}{L}\cdot \int _{-L}^Lf\left（x\right）\sin \left（\frac{n\pi x}{L}\right）dx，\：\quad \：n>0

 

푸리에 계수 계산기를 사용하면 이러한 계수의 값을 쉽게 찾을 수 있습니다.

푸리에 급수는 어떻게 계산되나요?
주어진 함수의 푸리에 급수를 결정하는 것은 정신없고 시간이 많이 걸리는 과정이 될 수 있습니다. 이것이 바로 우리가 결과를 즉각적이고 정확하게 결정할 수 있도록 무료 푸리에 시리즈 계수 계산기를 프로그래밍한 이유입니다. 그러나 푸리에 급수의 올바른 사용법을 이해하기 위해 몇 가지 예를 풀어보겠습니다.

예제 #01: 아래 주어진 함수의 푸리에 급수를 계산합니다:

f(x)=L−xon−L≤x≤L f\left（ x \right） = L - x on - L \le x \le L

 

 
f(x)=L−x f\left（ x \right） = L - x f(−x)=−(L−x) f\left（ -x \right） = -（L - x）

 

f(x)=−f(x) f\left（ x \right） = -f\left（ x \right）

 

주어진 함수가 이상합니다. 이제 결정계수는 다음과 같습니다.

 

a0=12L∫ −L Lf(x) dx {a_0} = \frac{1}{{2L}}\int_{{\， - L}}^{{\，L}}{{f\left（ x \right）\，dx}}

 

a0=12L∫ −L LL−x dx {a_0} = \frac{1}{{2L}}\int_{{\， - L}}^{{\，L}}{{L - x\，dx}}

 

a0=2L {a_0} = 2L     

 

홀수 함수의 경우 a_{n}은 0인 것으로 알려져 있습니다. 다음과 같이 b_{n}의 값을 결정합니다.

B n=1L∫ −L Lf(x)sin⁡(n πxL) dx=1L∫ −L L(L−x)sin⁡(n πxL) dx=1L(−Ln2π2)[Lsin⁡(n πxL)−nπ(x−L)cos⁡(n πxL)]∣−LL=1L[L2n2π2(2nπcos⁡(nπ)−2sin⁡(nπ))]=2L(−1)nnπn=1,2,3,… \begin{align*}{B_{\，n}} &= \frac{1}{L}\int_{{\， - L}}^{{\，L}}{{f\left（ x \right）\sin \left（ {\frac{{n\，\pi x}}{L}} \right）\，dx}} = \frac{1}{L}\int_{{\， - L}}^{{\，L}}{{\left（ {L - x} \right）\sin \left（ {\frac{{n\，\pi x}}{L}} \right）\，dx}}\\ & = \frac{1}{L}\left.{\left（ { - \frac{L}{{{n^2}{\pi ^2}}}} \right）\left[ {L\sin \left（ {\frac{{n\，\pi x}}{L}} \right） - n\pi \left（ {x - L} \right）\cos \left（ {\frac{{n\，\pi x}}{L}} \right）} \right]} \right|_{ - L}^L\\ & = \frac{1}{L}\left[ {\frac{{{L^2}}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\left（ {2n\pi \cos \left（ {n\pi } \right） - 2\sin \left（ {n\pi } \right）} \right）} \right] = \frac{{2L{{\left（ { - 1} \right）}^n}}}{{n\pi }}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}n = 1,2,3， \ldots \end{对齐*}

 

 

f(x)=2L+∑n=1∞ 0⋅cos⁡(nπxL)+∑n=1∞ 2(−1)nn⋅sin⁡(nπxL) f\left（x\right）=2 L +\sum _{n=1}^{\infty \：}0\cdot \cos \left（\frac{n\pi x}{L}\right）+\sum _{n=1}^{\infty \：}\frac{2 \left（-1\right）^{n}}{n}\cdot \sin \left（\frac{n\pi x}{L}\right）

 

f(x)=L+∑n=1∞2(−1)nsin⁡(nx)n f\left（x\right）=L + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \left（-1\right）^{n} \sin{\left（n x \right）}}{n}