피보나치 수열

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피보나치 수란 무엇입니까?

피보나치 수열이라고도 알려진 피보나치 수열은 수열의 각 숫자가 앞의 두 숫자의 합과 같은 수열로 정의됩니다. 피보나치 수열은 다음과 같습니다.

피보나치 수열 = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ....

여기서, 세 번째 항 '1'은 첫 번째 항과 두 번째 항을 더한 값이다. (즉, 0+1 = 1)

마찬가지로,

"2"는 두 번째 항과 세 번째 항을 더하여 구합니다(1+1 = 2).

"3"은 세 번째와 네 번째 항(1+2)을 더하여 구합니다.

예를 들어 21 다음의 항목은 13과 21을 더하면 찾을 수 있습니다. 따라서 시퀀스의 다음 항목은 34입니다.

피보나치 수열 공식

피보나치 수열 "F n "은 시드 값 F 0 =0 및 F 1 =1과의 재귀 관계를 사용하여 정의됩니다.

F n = F n-1 +F n-2

여기서 시퀀스는 시작 관계와 재귀 관계와 같은 두 가지 다른 부분을 사용하여 정의됩니다.

킥오프 부분은 F 0 =0 및 F 1 =1입니다.

재귀 관계 부분은 F n = F n-1 +F n-2입니다.

시퀀스는 1이 아닌 0에서 시작됩니다. 따라서 F 5는 시퀀스의 6번째 항목이어야 합니다.

피보나치 수열의 처음 20개 항 목록은 다음과 같습니다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181.

피보나치 수열은 다음과 같이 계산됩니다.

<몸>

˚F ñ	피보나치 수
0	0
1	1
2	1
삼	2
4	삼
5	5
6	8
7	13
8	이십 일
9	34
… 등.	… 등.

피보나치 수열은 황금 비율의 가치와 밀접한 관련이 있습니다. 우리는 황금 비율 값이 대략 1.618034와 같다는 것을 알고 있습니다. 기호 "ψ"로 표시됩니다. 연속된 두 피보나치 수의 비율을 취하면 그 비율은 황금비에 가깝습니다. 예를 들어 3과 5는 두 개의 연속된 피보나치 수입니다. 5 대 3의 비율은 다음과 같습니다.

5/3 = 1.6666

21과 34라는 또 다른 숫자 쌍을 취하면 34와 21의 비율은 다음과 같습니다.

34/21 = 1.619

이는 피보나치 수열 쌍이 더 큰 값을 가지면 비율이 황금 비율에 매우 가깝다는 것을 의미합니다.

따라서 황금비를 사용하면 수열에서 피보나치 수열을 찾을 수 있습니다.

황금비를 사용하여 피보나치 수를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

X n = [Φ n – (1-Φ) n ]/√5

어디,

Φ는 황금비로 대략 1.618과 같은 값입니다.

n은 피보나치 수열의 n번째 항입니다.

피보나치 수열 풀기의 예

예 1:

n=5인 경우 재귀 관계를 사용하여 피보나치 수를 찾습니다.

해결책:

피보나치 수열을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.F n = F n-1 +F n-2

예: F 0 =0 및 F 1 =1

공식을 사용하면

F 2 = F1+F0 = 1+0 = 1

F 3 = F2+F1 = 1+1 = 2

F 4 = F3+F2 = 2+1 = 3

F 5 = F4+F3 = 3+2 = 5

따라서 피보나치 수는 5이다.

예 2:

n=6인 경우 황금비를 사용하여 피보나치 수열을 찾습니다.

해결책:

황금 비율을 사용하여 피보나치 수를 계산하는 공식은X n = [ψ n – (1-ψ) n ]/√5입니다.

우리는 Φ가 대략 1.618과 같다는 것을 알고 있습니다.

n= 6

이제 수식의 값을 바꾸면

X n = [Φ n – (1-Φ) n ]/√5

X 6 = [1.618 6 – (1-1.618) 6 ]/√5

X 6 = [17.942 – (0.618) 6 ]/2.236

X 6 = [17.942 – 0.056]/2.236

X 6 = 17.886/2.236

X 6 = 7.999

X 6 = 8(반올림된 값)

n=6일 때 수열의 피보나치 수는 8입니다.

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